Část 1
Přímá úměrnost
Chceš nový telefon za 4 500 Kč. Na brigádě jsi za 4 hodiny skládání krabic dostal 600 Kč. Kolik hodin tam ještě musíš strávit, abys na ten mobil měl?
📖 Co je přímá úměrnost?
Dvě veličiny jsou přímo úměrné, pokud se jedna zvětší a druhá se zvětší také (ve stejném poměru).
Pravidlo
\[ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \]
💡 Příklady přímé úměry:
více kg jablek → více Kč
více km → více litrů paliva
více hodin práce → více vyrobených kusů
více kg jablek → více Kč
více km → více litrů paliva
více hodin práce → více vyrobených kusů
🔢 Postup řešení – přímá úměra
Příklad: Za 6 kg jablek zaplatíme 72 Kč. Kolik zaplatíme za 4 kg?
- Zapíšeme vztah:
\(6\,\text{kg} \to 72\,\text{Kč}\)
\(4\,\text{kg} \to x\,\text{Kč}\) - Napíšeme rovnici (jak vidíme, tak píšeme):
\[\frac{6}{4} = \frac{72}{x}\] - Upravíme, aby bylo \(x\) vlevo nahoře (můžeš prohazovat celé řádky - Patra můžeš prohazovat celé sloupce - Strany):
\[\frac{x}{72} = \frac{4}{6}\] - Vyjádříme \(x\):
\[x = \frac{4 \cdot 72}{6} = 48\,\text{Kč}\]
Odpověď
Za 4 kg jablek zaplatíme 48 Kč.
Část 2
Nepřímá úměrnost
📖 Co je nepřímá úměrnost?
Dvě veličiny jsou nepřímo úměrné, pokud se jedna zvětší a druhá se zmenší (ve stejném poměru).
Pravidlo
\[ a_1 \cdot b_1 = a_2 \cdot b_2 \]
nebo ekvivalentně:
\[ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_2}{b_1} \]
💡 Příklady nepřímé úměry:
více dělníků → méně dní práce
více čerpadel → kratší čas plnění
vyšší rychlost → kratší čas cesty
více dělníků → méně dní práce
více čerpadel → kratší čas plnění
vyšší rychlost → kratší čas cesty
🔢 Postup řešení – nepřímá úměra
Příklad: 6 lidí uklidí park za 8 hodin. Za jak dlouho uklidí park 12 lidí?
- Zapíšeme vztah:
\(6\,\text{lidí} \to 8\,\text{hodin}\)
\(12\,\text{lidí} \to x\,\text{hodin}\) - U nepřímé úměry prohodíme jednu stranu, aby bylo \(x\) nahoře:
\[\frac{6}{12} = \frac{x}{8}\] - Vyjádříme \(x\):
\[x = \frac{6 \cdot 8}{12} = 4\,\text{h}\]
Odpověď
12 lidí uklidí park za 4 hodiny.
⚖️ Přímá vs. Nepřímá úměra – jak poznat?
✅ Přímá úměra
Více jednoho = více druhého
více kg → více Kč
více hodin → více km
🔄 Nepřímá úměra
Více jednoho = méně druhého
více dělníků → méně dní
více čerpadel → kratší čas
🧠 Mini test – Přímá nebo nepřímá?
Část 3
Vyjádření neznámé x
🔧 Jak vyjádřit x?
Cílem je dostat x vlevo nahoře. Povolené úpravy:
1. Převrátit obě strany
\[ \frac{20}{56} = \frac{100}{x} \implies \frac{56}{20} = \frac{x}{100} \]
2. Prohodit levou a pravou stranu
\[ \frac{56}{20} = \frac{x}{100} \implies \frac{x}{100} = \frac{56}{20} \]
3. Vyjádřit x (vynásobení jmenovatelem)
\[ \frac{x}{100} = \frac{56}{20} \implies x = \frac{56 \cdot 100}{20} = 280\,\text{km} \]
📝 Vyjádři neznámou x z trojčlenky
- \( \dfrac{4}{60} = \dfrac{x}{30} \)
- \( \dfrac{2{,}5}{12{,}5} = \dfrac{4}{x} \)
- \( \dfrac{10}{x} = \dfrac{50}{250} \)
- \( \dfrac{x}{45} = \dfrac{15}{60} \)
- \( \dfrac{7}{x} = \dfrac{14}{28} \)
- \( \dfrac{25}{100} = \dfrac{x}{200} \)
- \( \dfrac{x}{9} = \dfrac{3}{6} \)
- \( \dfrac{x}{20} = \dfrac{10}{50} \)
1) \(x=2\); 2) \(x=20\); 3) \(x=50\); 4) \(x=11{,}25\); 5) \(x=14\); 6) \(x=50\); 7) \(x=4{,}5\); 8) \(x=4\)
🧠 Mini test – Vyjádření x
Část 4
Slovní úlohy
📝 Sada A
- 8 malířů natře zeď za 6 hodin. Za jak dlouho ji natřou 4 malíři? nepřímá
- 12 aut naplní sklad za 9 dní. Kolik dní bude potřeba, když aut bude jen 6? nepřímá
- 3 čerpadla naplní nádrž za 10 hodin. Za jak dlouho ji naplní 6 čerpadel? nepřímá
- 15 lidí uklidí park za 4 hodiny. Kolik lidí je potřeba, aby to zvládli za 2 hodiny? nepřímá
- Recept na 5 porcí polévky vyžaduje 2 litry vody. Kolik litrů vody potřebujeme na 8 porcí? přímá
- 2 stroje vyrobí 100 kusů za 5 hodin. Kolik kusů vyrobí 4 stroje za 5 hodin? přímá
- Za 6 hodin ujde člověk 18 km. Kolik kilometrů ujde za 9 hodin stejným tempem? přímá
- Traktor spotřebuje 20 litrů nafty na 80 km. Kolik litrů spotřebuje na 200 km? přímá
1) 12 hodin; 2) 18 dní; 3) 5 hodin; 4) 30 lidí; 5) 3,2 litru; 6) 200 kusů; 7) 27 km; 8) 50 l
📝 Sada B
- 6 dělníků dokončí práci za 12 dní. Za jak dlouho ji dokončí 3 dělníci? nepřímá
- 4 tiskařské stroje vytisknou 800 knih za 10 hodin. Kolik knih vytiskne 1 stroj za 5 hodin? přímá
- 9 zedníků postaví dům za 18 týdnů. Kolik zedníků je potřeba, aby ho postavili za 6 týdnů? nepřímá
- Auto ujede 150 km za 3 hodiny. Jakou vzdálenost ujede za 5 hodin? přímá
- 8 zaměstnanců roztřídí balíky za 16 hodin. Kolik hodin to zabere 4 zaměstnancům? nepřímá
- Recept pro 4 osoby obsahuje 1,5 litru vývaru. Kolik litrů potřebujeme pro 10 osob? přímá
- 5 malířů natře 250 m² stěny za 10 hodin. Kolik m² natřou 2 malíři za 4 hodiny? přímá
- Při kurzu 25 Kč/EUR dostaneme za 200 EUR. Kolik EUR dostaneme za 500 Kč? přímá
1) 24 dní; 2) 100 knih; 3) 27 zedníků; 4) 250 km; 5) 32 hodin; 6) 3,75 l; 7) 40 m²; 8) 20 EUR
🧠 Mini test – Slovní úlohy
Část 5
Složená trojčlenka
🔗 Kdy použít složenou trojčlenku?
Složená trojčlenka se používá, když úloha obsahuje tři různé veličiny – typicky: počet pracovníků, množství práce a čas.
💡 Klíčová otázka: Pro každou dvojici veličin se zeptej:
Roste-li jedna → roste druhá? → přímá úměra (píšeme poměr stejně)
Roste-li jedna → klesá druhá? → nepřímá úměra (poměr obrátíme)
Roste-li jedna → roste druhá? → přímá úměra (píšeme poměr stejně)
Roste-li jedna → klesá druhá? → nepřímá úměra (poměr obrátíme)
🔢 Vzorový postup – složená trojčlenka
Příklad: 4 stroje vyrobí 240 součástek za 8 hodin. Kolik součástek vyrobí 6 strojů za 10 hodin?
-
Zapíšeme tabulku:
\(4\,\text{stroje} \to 240\,\text{součástek} \to 8\,\text{hodin}\)
\(6\,\text{stroje} \to x\,\text{součástek} \to 10\,\text{hodin}\) -
Analyzujeme vazby:
• více strojů → více součástek → přímá \(\left(\frac{6}{4}\right)\)
• více hodin → více součástek → přímá \(\left(\frac{10}{8}\right)\) - Sestavíme rovnici: \[\frac{x}{240} = \frac{6}{4} \times \frac{10}{8}\]
- Vyjádříme \(x\): \[x = 240 \times \frac{6}{4} \times \frac{10}{8} = 240 \times 1{,}5 \times 1{,}25 = 450\]
Odpověď
6 strojů vyrobí za 10 hodin 450 součástek.
📝 Složené příklady
- 6 malířů natře 3 pokoje za 12 hodin. Kolik hodin bude trvat 9 malířům natřít 6 pokojů? složená
- 5 tiskáren vytiskne 4 900 stran za 7 hodin. Kolik stran vytisknou 8 tiskáren za 9 hodin? složená
- 5 dělníků postaví 2 zdi za 15 dní. Kolik dní bude potřebovat 10 dělníků na postavení 5 zdí? složená
- 8 pracovníků zabalí 400 balíků za 10 hodin. Kolik balíků zvládne zabalit 6 pracovníků za 12 hodin? složená
- 3 traktory zorají 90 hektarů za 6 dní. Kolik hektarů zorá 5 traktorů za 4 dny? složená
- 10 tesařů postaví 4 střechy za 20 dní. Kolik tesařů je potřeba, aby 6 střech postavili za 15 dní? složená
1) 8 hodin; 2) 10 080 stran; 3) 6 dní (pozor – více dělníků zkrátí čas, ale více zdí ho prodlouží); 4) 360 balíků; 5) 100 ha; 6) 20 tesařů
📝 Další složené příklady
- 7 kombajnů sklidí pole za 12 dní. Kolik dní bude trvat sklidit dvakrát větší pole 4 kombajny? složená
- 4 pumpy odčerpají 1200 litrů za 3 hodiny. Kolik litrů odčerpá 6 pump za 5 hodin? složená
- 3 pracovníci přeloží 600 knih za 4 hodiny. Kolik hodin budou potřebovat 2 pracovníci na přeložení 900 knih? složená
- Továrna se 6 linkami vyrábí 300 ks výrobků za 5 dní. Za kolik dní vyrobí 8 linkami 400 kusů? složená
- 12 koní zvládne spást louku za 8 dní. Kolik dní bude potřeba 8 koním na louku 3× větší? složená
1) \(x = 12 \cdot \frac{7}{4} \cdot \frac{2}{1} = 42\) dní; 2) \(x = 1200 \cdot \frac{6}{4} \cdot \frac{5}{3} = 3000\) l; 3) \(x = 4 \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{900}{600} = 9\) hodin; 4) \(x = 5 \cdot \frac{6}{8} \cdot \frac{400}{300} \approx 5\) dní; 5) \(x = 8 \cdot \frac{12}{8} \cdot 3 = 36\) dní