Rýsování

Konstrukční úlohy · Geometrie · Postup krok za krokem

Úvod

Jak na konstrukční úlohy?

📐 Pomůcky: pravítko, kružítko, úhloměr, trojúhelníkové pravítko (60°/30° nebo 45°) |  Postup: 1. Náčrt → 2. Rozbor (co víme, co hledáme) → 3. Konstrukce → 4. Popis kroků → 5. Diskuze (kolik řešení?)

📏 Osa úsečky

  1. Narýsuj úsečku AB.
  2. Z bodu A i B narýsuj kružnice se stejným poloměrem r > |AB|/2.
  3. Průsečíky kružnic spoj přímkou — to je osa úsečky.

📐 Osa úhlu

  1. Z vrcholu úhlu narýsuj kružnici — získáš body P, Q na ramenech.
  2. Z P a Q narýsuj dvě kružnice se stejným poloměrem.
  3. Průsečík kružnic a vrchol úhlu určují osu úhlu.

⭕ Kružnice opsaná △

  1. Sestroj osy všech tří stran trojúhelníku.
  2. Průsečík os = střed kružnice opsané (opisné kružnice) S.
  3. Poloměr r = |SA| = |SB| = |SC|.

⭕ Kružnice vepsaná △

  1. Sestroj osy všech tří úhlů trojúhelníku.
  2. Průsečík os = střed kružnice vepsané I.
  3. Poloměr = vzdálenost I od libovolné strany (kolmice na stranu).

📏 Těžnice

  1. Najdi střed strany (osa úsečky nebo pravítkem).
  2. Spoj střed strany s protějším vrcholem.
  3. Těžnice se protínají v těžišti T (dělí každou těžnici 2:1).

↕️ Výška trojúhelníku

  1. Z vrcholu spusť kolmici na protější stranu.
  2. Kolmici sestrojíš pomocí kružítka nebo trojúhelníkového pravítka.
  3. Pata výšky leží na straně (nebo jejím prodloužení u tupého △).

🧠 Mini test – Základní pojmy

Skóre:0/0
Část 1

Základní konstrukce

📏 Úsečky a úhly

  • Narýsuj úsečku AB = 60 mm a sestroj její osu. osa úsečky
  • Narýsuj úsečku AB = 4,5 cm a urči její střed. střed
  • Narýsuj úhel ∠ABC = 70° a sestroj jeho osu. osa úhlu
  • Rozděl libovolný úhel na poloviny pomocí osy úhlu. osa úhlu
  • Sestroj kružnici dotýkající se přímky p v bodě M. kružnice
  • Sestroj tečnu ke kružnici z bodu vně kružnice. tečna

📐 Dělení úseček a úhlů

  • Rozděl úsečku AB = 10 cm v poměru 2 : 3. poměr
  • Rozděl úsečku CD = 9 cm na 6 stejných částí. dělení
  • Rozděl úhel 60° na tři stejné části pomocí kružítka. dělení úhlu
  • Sestroj pravý úhel (90°) pouze pomocí kružítka a pravítka. kolmice
  • Sestroj kolmici k přímce p procházející bodem A ležícím na p. kolmice
  • Sestroj rovnoběžku s přímkou p procházející bodem B. rovnoběžka

✅ Sebekontrola – základní konstrukce

Klikni na každý bod, který jsi procvičil/a:

Část 2

Trojúhelníky

📖 Věty o shodnosti trojúhelníků

Věta SSS
Jsou zadány všechny tři strany: a, b, c
Věta SUS (sus)
Dvě strany a úhel mezi nimi: a, b, γ
Věta USU (usu)
Jedna strana a dva přilehlé úhly: a, β, γ
💡 Tip: Vždy začni narýsováním základny (strany a). Pak sestav pomocí kružítka (pro strany) nebo úhloměru (pro úhly) zbývající vrcholy.

📝 Konstrukce trojúhelníků

  • △ABC: a = 6 cm, b = 8 cm, c = 7 cm. Sestroj kružnici opsanou. SSS + opsaná
  • △ABC: a = 50 mm, b = 6,5 cm, γ = 50°. Sestroj kružnici vepsanou. SUS + vepsaná
  • △ABC: β = 40°, γ = 75°, a = 7 cm. Sestroj těžnici na c a b. USU + těžnice
  • △ABC: c = 8 cm, a = 5 cm, α = 60°. Sestroj výšku na stranu c. SUS + výška
  • Rovnostranný △ABC, a = 8 cm. Narýsuj všechny osy souměrnosti. rovnostranný
  • Rovnoramenný △ABC: základna c = 12 cm, γ = 90°. rovnoramenný
  • Pravoúhlý △ABC: c = 10 cm, γ = 90°, b = 4 cm. pravoúhlý
  • △ABC: AB = 5 cm, BC = 7 cm, AC = 6 cm. Proveď osovou souměrnost podle osy BC. souměrnost

🔢 Postup: △ABC ze tří stran (SSS)

Příklad: a = 6, b = 8, c = 7 cm

  1. Narýsuj základnu c = 7 cm — bod A vlevo, B vpravo.
  2. Z bodu A narýsuj kružnici s poloměrem b = 8 cm.
  3. Z bodu B narýsuj kružnici s poloměrem a = 6 cm.
  4. Průsečík kružnic = vrchol C. Spoj A–C–B.
  5. Pro kružnici opsanou sestroj osy všech tří stran → průsečík = střed S, r = |SA|.
📐 Narýsuj do sešitu
Část 3

Čtyřúhelníky

📖 Přehled čtyřúhelníků

Čtverec & obdélník
4 pravé úhly. Čtverec: a = b. Obdélník: a ≠ b. Úhlopříčky jsou stejně dlouhé a půlí se.
Kosočtverec & kosodélník
Všechny strany stejné (kosočtverec) nebo jen protější (kosodélník). Úhlopříčky se půlí.
Lichoběžník
Právě jeden pár rovnoběžných stran (základny). Pravoúhlý: jeden pravý úhel.

📝 Příklady – čtyřúhelníky

  • Čtverec a = 10 cm — sestroj kružnici opsanou. čtverec
  • Obdélník: úhlopříčka u = 5 cm, strana a = 3 cm. obdélník
  • Kosočtverec: strana 6 cm, úhel 60°. kosočtverec
  • Kosodélník: strana 5 cm, úhel 45°. kosodélník
  • Lichoběžník: základny 8 cm a 5 cm, výška 4 cm. lichoběžník
  • Pravoúhlý lichoběžník: základna 12 cm, rameno b = 8 cm, pravý úhel při A. pravoúhlý lich.
  • Rovnoběžník: strany 6 cm a 4 cm, úhel 60°. rovnoběžník
  • Rovnoběžník: strana 7 cm, výška na tuto stranu 3 cm. rovnoběžník

🔢 Postup: obdélník z úhlopříčky a strany

Příklad: u = 5 cm, a = 3 cm

  1. Narýsuj úhlopříčku u = 5 cm — body A a C.
  2. Najdi střed S úhlopříčky (osa úsečky AC).
  3. Z S narýsuj kružnici r = u/2 = 2,5 cm.
  4. Z A narýsuj kružnici r = a = 3 cm — průsečík s první kružnicí = B.
  5. D dostaneš středovou souměrností B podle S: D je naproti B.
  6. Spoj A–B–C–D–A.

🧠 Mini test – Trojúhelníky & čtyřúhelníky

Skóre:0/0
Část 4

Dělení úseček a úhlů

🔢 Dělení úsečky v poměru m : n

Příklad: AB = 10 cm, poměr 2 : 3

  1. Z bodu A narýsuj pomocnou polopřímku s (libovolný směr, ne na AB).
  2. Na s vyznač 2 + 3 = 5 stejně dlouhých úseček (např. po 1 cm) → bod A₅.
  3. Spoj A₅ s B.
  4. Z bodu A₂ (po 2 dílcích) narýsuj rovnoběžku s A₅B → průsečík s AB = hledaný bod D.
  5. AD : DB = 2 : 3 ✓

🔢 Dělení úhlu na tři části

Příklad: úhel 60°

  1. Úhel 60° nejde obecně rozdělit kružítkem na třetiny — ale 60° = 3 × 20°.
  2. Nejprve sestroj 60° (rovnostranný trojúhelník → každý úhel = 60°).
  3. Pak sestroj osu = 30°, a osu 30° = 15°… nebo použij úhloměr pro 20°.
  4. Přesné třetinění obecného úhlu kružítkem není konstruovatelné (klasický problém).
⚠️ Poznámka: Třetinění libovolného úhlu pomocí kružítka a pravítka je nerýsovatelné (dokázáno v 19. stol.). Pro 60° lze použít úhloměr.

📝 Procvičení – dělení

Část 5

Souměrnost

📖 Osová souměrnost

Zobraz každý bod kolmo přes osu na stejnou vzdálenost na druhé straně.

Postup

Z každého vrcholu spusť kolmici na osu o. Vyznač bod ve stejné vzdálenosti na druhé straně osy.

  • △ABC (AB=5, BC=7, AC=6 cm): osová souměrnost podle osy BC. osová
  • Obdélník 8×4 cm: středová souměrnost podle bodu C. středová
  • Lichoběžník ABCD (AB=8, CD=5, v=4 cm): osová souměrnost podle osy AD. osová

📖 Středová souměrnost

Zobraz každý bod přes střed S — obraz leží na spojnici bodu a S, ve stejné vzdálenosti na druhé straně.

Postup

Spoj vrchol A se středem S. Prodluž úsečku za S o stejnou délku → A'.

  • Čtverec a = 6 cm: středová souměrnost podle středu v bodě A. středová
  • Narýsuj libovolný pětiúhelník a zobraz ho středovou souměrností. středová
  • Úsečka AB = 7 cm: najdi obraz v osové souměrnosti podle osy procházející středem AB. osová

🧠 Mini test – Souměrnost

Skóre:0/0
Část 6

Podobnost a měřítko

📖 Co je podobnost?

Dvě tělesa jsou podobná, pokud mají stejné úhly a poměry stran jsou stejné (koeficient podobnosti k).

Koeficient podobnosti
\[ k = \frac{a'}{a} = \frac{b'}{b} = \frac{c'}{c} \]

k > 1 → zvětšení, k < 1 → zmenšení

Příklad: poměr 1 : 2

Čtverec a = 6 cm v měřítku 1 : 2 → nový čtverec a' = 3 cm.
Všechny strany dělíme 2.

📝 Příklady – podobnost

  • Sestroj čtverec podobný čtverci a = 6 cm v měřítku 1 : 3. 1:3
  • Sestroj △ podobný danému △ABC v poměru stran 1 : 2. 1:2
  • Čtverec a = 4 cm — sestroj podobný čtverec v měřítku 3 : 1 (zvětšení). 3:1
  • Obdélník 6×4 cm — sestroj podobný obdélník v měřítku 1 : 2. 1:2
  • Narýsuj △ABC (a=8, b=6, c=7 cm) a pak podobný △ s k = 0,5. k=0,5
  • Kvádr 6×4×3 cm — nakresli náčrt a kvádr v měřítku 2 : 1. náčrt

🔢 Postup: podobný trojúhelník (k = 1:2)

  1. Narýsuj původní △ABC.
  2. Vypočítej nové strany: a' = a/2, b' = b/2, c' = c/2.
  3. Sestroj nový △A'B'C' ze zkrácených stran (věta SSS).
  4. Úhly jsou stejné jako v původním △ — ověř úhloměrem.
💡 Alternativa: Lze použít středové promítání z libovolného středu S — spojíš S s každým vrcholem a vyznačíš bod ve vzdálenosti k·|SX|.

✅ Celková sebekontrola – zvládám konstrukční úlohy?

Zaškrtni, co ti jde: