Mnohočleny – Interaktivní procvičování

Část 1

Základy mnohočlenů

📖 Co je mnohočlen?

Mnohočlen je algebraický výraz složený z více členů. Každý člen může obsahovat čísla, proměnné a jejich mocniny.

Příklad mnohočlenu

\[ 4x^2 + 3x + 5 \]

Stupeň mnohočlenu = nejvyšší exponent = 2

🔤 Proměnná a exponent

Proměnná je symbol (písmeno), který zastupuje číslo.

Exponent

\[ x^3 = x \cdot x \cdot x \]

Při násobení stejných proměnných sčítáme exponenty:
\(x^2 \cdot x^3 = x^5\)

🧠 Mini test – Základy

Skóre: 0/0

Část 2

Sčítání a odčítání

➕ Pravidlo podobných členů

Sčítat a odčítat lze pouze podobné členy – členy se stejnou proměnnou a stejným exponentem.

Správně ✓

\[ 3x^2 + 4x^2 = 7x^2 \]

Nelze sčítat ✗

\[ 3x^2 + 4x = ? \]

💡 Tip: Záporné znaménko před závorkou mění znaménka uvnitř:
\(-(2x - 4x^2) = -2x + 4x^2\)

📝 Základní příklady

\( 2x + 4y - 3y + 5x = \)
\( 3a^2 + 2b - 5b + a^2 = \)
\( 4m - 7n + 3n + 2m - 3 = \)
\( 5p + 2q - q + 3p + 1 = \)
\( 6x^3 - 2x^2 + x^2 + 4x^3 = \)
\( 2x + 3 - 4x + 5 = \)
\( -5x - 4x + 5 - 3 = \)
\( x - 5x + 3 - x - 5 = \)

1) \(7x+y\); 2) \(4a^2-3b\); 3) \(6m-4n-3\); 4) \(8p+q+1\); 5) \(10x^3-x^2\); 6) \(-2x+8\); 7) \(-9x+2\); 8) \(-5x-2\)

📝 Se závorkami

\( (2x + 4y) - (3y + 5x) = \)
\( (3a^2 + 2b) - (5b + a^2) = \)
\( (4m - 7n) - 2(3n - 2m) = \)
\( 3(5p + 2q) - (q + 3p) = \)
\( (6x^3 - 2x^2) - (x^2 - 4x^3) = \)
\( -2x^2 - 3(x^2 - 4x^3) + 4x^3 = \)
\( -(6x^3 - 2x) + x - 4x^3 = \)
\( -(2b^2 + 3[3b^3 - b^2]) + 5b^3 = \)

1) \(-3x+y\); 2) \(2a^2-3b\); 3) \(6m-10n\); 4) \(12p+5q\); 5) \(10x^3-3x^2\); 6) \(-5x^2+16x^3\); 7) \(-10x^3+3x\); 8) \(-7b^3\)

🧠 Mini test – Sčítání mnohočlenů

Skóre: 0/0

Část 3

Násobení a dělení

✖️ Pravidla násobení a dělení

Násobení – sčítáme exponenty

\[ x^a \cdot x^b = x^{a+b} \] \[ -4x^2 \cdot 3x^3 = -12x^5 \]

Dělení – odčítáme exponenty

\[ x^a : x^b = x^{a-b} \] \[ 15x^5 : (-3x^2) = -5x^3 \]

💡 Tip na závorky: Každý člen první závorky násobíme každým členem druhé závorky:
\((3x+2)(4x+5) = 12x^2 + 15x + 8x + 10 = 12x^2 + 23x + 10\)

📝 Násobení a dělení jednočlenů

\( -4x^2 \cdot 5x^3 = \)
\( 3x \cdot (-2x^4) = \)
\( -6a^3 \cdot 2a = \)
\( 7y^2 \cdot y^5 = \)
\( -3m^4 \cdot (-2m^2) = \)
\( -6m^2 \cdot (-3m) = \)
\( -20y^4 : 4y^2 = \)
\( -10m^4 : (-5m^3) = \)

1) \(-20x^5\); 2) \(-6x^5\); 3) \(-12a^4\); 4) \(7y^7\); 5) \(6m^6\); 6) \(18m^3\); 7) \(-5y^2\); 8) \(2m\)

📝 Násobení závorek

\( (x + 2)(x + 3) = \)
\( (-2x - 1)(x + 4) = \)
\( (-3a + 2)(a^2 - 5) = \)
\( (x^2 + x)(x - 1) = \)
\( (2m + 3n)(m - n) = \)
\( -2(2m + 3n)(2m - 2n) = \)
\( (x+1)(x+2)(x+3) = \)
\( (a-b)^3 = \)

1) \(x^2+5x+6\); 2) \(-2x^2-7x-4\); 3) \(-3a^3+15a+2a^2-10\); 4) \(x^3-x\); 5) \(2m^2+mn-3n^2\); 6) \(-8m^2+2mn+12n^2\); 7) \(x^3+6x^2+11x+6\); 8) \(a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\)

🧠 Mini test – Násobení mnohočlenů

Skóre: 0/0

Část 4

Vytýkání před závorku

🔧 Princip vytýkání

Hledáme největšího společného dělitele (číslo, proměnnou nebo závorku) a napíšeme ho před závorku.

Vytýkání čísla

\[ 4x + 8 = 4(x + 2) \]

Vytýkání proměnné

\[ 4x^2 - 8x = 4x(x - 2) \]

Vytýkání závorky

\[ 3x(x+1) + 2(x+1) = (x+1)(3x+2) \]

📝 Základní vytýkání

\( 4x + 8 = \)
\( 6a^2 - 9a = \)
\( 5y^3 + 10y^2 = \)
\( 3m - 12 = \)
\( 7x^2 - 14x = \)
\( -2a^2 - 6a = \)
\( 9p^3 + 3p^2 - 6p = \)
\( 4a^2 - 8a + 2a - 4 = \)

1) \(4(x+2)\); 2) \(3a(2a-3)\); 3) \(5y^2(y+2)\); 4) \(3(m-4)\); 5) \(7x(x-2)\); 6) \(-2a(a+3)\); 7) \(3p(3p^2+p-2)\); 8) \(2(2a-4)(a+1)\) nebo \((2a+2)(2a-4)=(2a-4)(2a+2)\)

📝 Vytýkání závorky

\( 6x(x+2) + 3(x+2) = \)
\( 5m(m-1) - 2(m-1) = \)
\( a(b+2) - 3(b+2) = \)
\( 2x(y-1) + 5(y-1) = \)
\( m(n+4) - n(n+4) = \)
\( x(2y-5) + y(2y-5) = \)
\( 4y^2 + 6y - 2y - 3 = \)
\( 3y^2 - 9y + 5y - 15 = \)

1) \((x+2)(6x+3)=3(x+2)(2x+1)\); 2) \((m-1)(5m-2)\); 3) \((b+2)(a-3)\); 4) \((y-1)(2x+5)\); 5) \((n+4)(m-n)\); 6) \((2y-5)(x+y)\); 7) \(2y(2y+3)-(2y+3)=(2y+3)(2y-1)\); 8) \(3y(y-3)+5(y-3)=(y-3)(3y+5)\)

🧠 Mini test – Vytýkání

Skóre: 0/0

Část 5

Mocninné vzorce

⚡ Tři základní vzorce

1. Druhá mocnina součtu

\[ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \]

2. Druhá mocnina rozdílu

\[ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \]

3. Rozdíl druhých mocnin

\[ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \]

📌 Příklady:
\((x+4)^2 = x^2 + 8x + 16\)

\((9-y)^2 = 81 - 18y + y^2\)

\(x^2 - 9 = (x-3)(x+3)\)

📝 Mocnina součtu / rozdílu

\( (2x + 4)^2 = \)
\( (x + 7)^2 = \)
\( (4m^2 - 2n)^2 = \)
\( (x^2 - 5)^2 = \)
\( 9a^2 - 30a + 25 = \)
\( 4x^2 + 16x + 16 = \)
\( 25p^2 + 30pq + 9q^2 = \)
\( (3x - 2y)^2 = \)

1) \(4x^2+16x+16\); 2) \(x^2+14x+49\); 3) \(16m^4-16m^2n+4n^2\); 4) \(x^4-10x^2+25\); 5) \((3a-5)^2\); 6) \((2x+4)^2\); 7) \((5p+3q)^2\); 8) \(9x^2-12xy+4y^2\)

📝 Rozdíl druhých mocnin

\( a^2 - b^2 = \)
\( (3x)^2 - (2y)^2 = \)
\( 64 - 16n^2 = \)
\( 4p^2 - 25 = \)
\( (2p-7)(2p+7) = \)
\( (x^3-y^2)(x^3+y^2) = \)
\( x^4 - 1 = \)
\( 9 - (a+b)^2 = \)

1) \((a-b)(a+b)\); 2) \((3x-2y)(3x+2y)\); 3) \(16(4-n^2)=16(2-n)(2+n)\); 4) \((2p-5)(2p+5)\); 5) \(4p^2-49\); 6) \(x^6-y^4\); 7) \((x^2-1)(x^2+1)=(x-1)(x+1)(x^2+1)\); 8) \((3-a-b)(3+a+b)\)

🧠 Mini test – Mocninné vzorce

Skóre: 0/0

Část 6

Lomené výrazy

➗ Práce s lomenými výrazy

Stejný jmenovatel

\[ \frac{3x}{5} + \frac{2x}{5} = \frac{5x}{5} = x \]

Různé jmenovatele

\[ \frac{2}{x} + \frac{3}{y} = \frac{2y + 3x}{xy} \]

⚠️ Podmínky existence: Jmenovatel nesmí být nula! Vždy urči, pro jaké hodnoty proměnné výraz existuje.
Příklad: \(\frac{3}{x-2}\) — podmínka: \(x \neq 2\)

📝 Sčítání lomených výrazů

\( \dfrac{2}{x} + \dfrac{3}{y} = \)
\( \dfrac{5}{y+1} - \dfrac{2}{y} = \)
\( \dfrac{4}{a+2} + \dfrac{1}{a-2} = \)
\( \dfrac{7}{b^2} - \dfrac{3}{4b} = \)
\( \dfrac{3}{m} + \dfrac{5}{2n} = \)
\( \dfrac{9}{2y-4} - \dfrac{4}{y+2} = \)

1) \(\frac{2y+3x}{xy}\); 2) \(\frac{3y+5}{y(y+1)}\); 3) \(\frac{5a-6}{(a+2)(a-2)}\); 4) \(\frac{28-3b}{4b^2}\); 5) \(\frac{6n+5m}{2mn}\); 6) \(\frac{9(y+2)-8(y-2)}{(2y-4)(y+2)}=\frac{y+34}{2(y-2)(y+2)}\)

📝 Podmínky existence

\( \dfrac{3}{x-2} \)
\( \dfrac{5}{y+4} \)
\( \dfrac{7}{a^2-9} \)
\( \dfrac{2}{b+5} \)
\( \dfrac{4}{m^2-1} \)
\( \dfrac{6}{a-b} \)

1) \(x\neq 2\); 2) \(y\neq -4\); 3) \(a\neq 3, a\neq -3\); 4) \(b\neq -5\); 5) \(m\neq 1, m\neq -1\); 6) \(a\neq b\)