📐 Online lekce · 8.–9. třída ZŠ

Sinus, cosinus
a tangens

Žebřík, střecha, výška stromu — to vše se počítá pomocí goniometrie. A není to těžké!

⏱ 45–60 minut 📐 Pravoúhlý trojúhelník 🧮 Kalkulačka 🎯 8.–9. třída
1

Proč se to vůbec učíme?

🌍 Goniometrie je všude kolem nás

Možná si říkáš: „K čemu mi bude sinus nebo tangens?" Tady jsou situace z reálného života, kde to fakt potřebuješ:

🌳 Výška stromu
Nemůžeš lézt na strom — ale můžeš změřit vzdálenost od stromu a úhel pohledu. Tangens ti řekne, jak je strom vysoký.
🏠 Sklon střechy
Tesaři a architekti počítají délku střešních trámů pomocí sinusu a cosinusu. Stačí znát výšku a šířku domu.
🪜 Žebřík u zdi
Jak dlouhý žebřík potřebuješ, abys dosáhl na okno ve 4 m výšce? Sinus ti to spočítá za vteřinu.
2

Opakování základů

📐 Pravoúhlý trojúhelník — připomenutí

Goniometrie funguje výhradně v pravoúhlém trojúhelníku — tedy trojúhelníku, který má jeden pravý úhel (90°).

přepona (c) protilehlá (a) přilehlá (b) α C A B
Přepona (c) — nejdelší strana, leží naproti pravému úhlu
Protilehlá odvěsna (a) — leží naproti sledovanému úhlu α
Přilehlá odvěsna (b) — vychází z vrcholu úhlu α
Úhel α — ostrý úhel, pro který počítáme sin/cos/tg

⚠️ Protilehlá a přilehlá se mění podle toho, který úhel sledujeme!

🧠 Rychlá kontrola — znáš základy?

Skóre:0/0
3

Sinus

Definice sinusu
sin α = protilehlá odvěsna / přepona = a / c
Sinus úhlu α = poměr protilehlé odvěsny k přeponě
Hodnota sinusu je vždy mezi 0 a 1 (pro ostré úhly).
sin 30° = 0,5  |  sin 45° ≈ 0,707  |  sin 90° = 1

🔴 Výklad: Sinus krok za krokem

Krok 1 / 5
1

Zadání

Žebřík je opřený o zeď. Žebřík je dlouhý 5 m a svírá se zemí úhel α = 60°. Jak vysoko na zdi dosahuje žebřík?

🎯 Hledáme výšku na zdi = protilehlou odvěsnu. Známe přeponu (žebřík = 5 m) a úhel.
2

Identifikujeme strany

Pravoúhlý trojúhelník: zeď, zem a žebřík.

přepona c = 5 m (žebřík)
protilehlá odvěsna a = ? (výška na zdi)
úhel α = 60°
3

Zapíšeme vzorec

Protilehlá / přepona → použijeme sinus:

sin α = protilehlá / přepona
sin 60° = a / 5
4

Vyjádříme a dopočítáme

Z kalkulačky: sin 60° ≈ 0,866

a = 5 × sin 60°
a = 5 × 0,866
a ≈ 4,33 m
5

✅ Výsledek

Žebřík dosahuje na zeď do výšky 4,33 m.

💡 Postup: 1) urči protilehlou a přeponu 2) napiš sin α = a/c 3) vyjádři neznámou 4) dosaď z kalkulačky
4

Cosinus

Definice cosinusu
cos α = přilehlá odvěsna / přepona = b / c
Cosinus úhlu α = poměr přilehlé odvěsny k přeponě
Hodnota cosinusu je také mezi 0 a 1 (pro ostré úhly).
cos 60° = 0,5  |  cos 45° ≈ 0,707  |  cos 0° = 1

🟢 Výklad: Cosinus krok za krokem

Krok 1 / 5
1

Zadání

Stejný žebřík: délka 5 m, úhel se zemí 60°. Jak daleko od zdi je spodní konec žebříku?

🎯 Hledáme vzdálenost od zdi = přilehlou odvěsnu. Přepona = 5 m, úhel = 60°.
2

Porovnání se sinusem

Sinus → protilehlá / přepona (výška na zdi)
Cosinus → přilehlá / přepona (vzdálenost od zdi)

💡 Tip: COS začíná na C jako Celá (přilehlá) odvěsna od vrcholu úhlu.
3

Zapíšeme vzorec

cos α = přilehlá / přepona
cos 60° = b / 5
4

Dopočítáme

Z kalkulačky: cos 60° = 0,5

b = 5 × cos 60°
b = 5 × 0,5 = 2,5 m
5

✅ Výsledek + ověření

Spodní konec žebříku je 2,5 m od zdi.

Ověření Pythagorovou větou: a² + b² = c²
4,33² + 2,5² ≈ 18,75 + 6,25 = 25 = 5² ✓
5

Tangens

Definice tangensu
tg α = protilehlá odvěsna / přilehlá odvěsna = a / b
Tangens úhlu α = poměr protilehlé k přilehlé odvěsně — přepona zde nefiguruje!
tg 45° = 1  |  tg 60° ≈ 1,732  |  tg 30° ≈ 0,577
Tangens může být i větší než 1 (na rozdíl od sin a cos).

🟡 Výklad: Tangens krok za krokem

Krok 1 / 5
1

Zadání — výška stromu

Stojíš 10 m od stromu. Díváš se na vrchol stromu a úhel pohledu (od vodorovné roviny) je 35°. Jak vysoký je strom?

🎯 Víme: vzdálenost od stromu = 10 m (přilehlá). Hledáme: výšku = protilehlou. → Použijeme tangens!
2

Proč tangens a ne sinus?

Nevíme délku žádné přepony! Máme jen dvě odvěsny — přilehlou (vzdálenost) a hledáme protilehlou (výšku).

Pravidlo: Pokud máš obě odvěsny (nebo jednu z nich hledáš) a přeponu nemáš → tangens.
3

Zapíšeme vzorec

tg α = protilehlá / přilehlá
tg 35° = výška / 10
4

Dopočítáme

Z kalkulačky: tg 35° ≈ 0,700

výška = 10 × tg 35°
výška = 10 × 0,700 = 7 m
5

✅ Výsledek

Strom je 7 m vysoký.

💡 Tangens je nejlepší přítel pro výšky a vzdálenosti — nepotřebuješ přeponu!

🔴 Sinus

sin α = a / c

protilehlá / přepona
Použij, když znáš přeponu a hledáš protilehlou (nebo naopak).

🟢 Cosinus

cos α = b / c

přilehlá / přepona
Použij, když znáš přeponu a hledáš přilehlou (nebo naopak).

🟡 Tangens

tg α = a / b

protilehlá / přilehlá
Použij, když přeponu vůbec nepotřebuješ.

🧠 Otestuj se — kterou funkci použít?

Skóre:0/0
6

Práce s kalkulačkou

🖩 Jak zadat sin, cos, tg — krok za krokem

1

Zkontroluj režim! Musíš být v režimu DEG (stupně), ne RAD (radiány). Na displayi hledej nápis DEG nebo D.

2

Výpočet sin 35°: Stiskni sin, pak zadej 35, pak =. Výsledek: 0.5736

3

Výpočet cos 60°: cos → 60 → = → výsledek: 0.5

4

Výpočet tg 45°: tan → 45 → = → výsledek: 1. Na kalkulačce bývá napsáno tan, česky říkáme tg.

5

Hledáš úhel? Použij inverzní funkci: Znáš sin α = 0,5 a hledáš α → stiskni sin⁻¹ nebo arcsin → zadej 0.5 → výsledek: 30°

⚠️ Nejčastější chyba: Kalkulačka je nastavena na radiány (RAD). Pak sin 30° nedá 0,5, ale nesmyslné číslo. Vždy zkontroluj DEG!
7

Slovní úlohy — řešíme společně

📝 Tři slovní úlohy krok za krokem

Úloha 1 / 3
1

🟢 Lehká: Výška budovy

Budova vrhá stín 8 m dlouhý. Slunce svírá se zemí úhel 40°. Jak vysoká je budova?

Stín = přilehlá = 8 m, výška = protilehlá = ?, úhel = 40°
tg 40° = výška / 8
výška = 8 × tg 40° = 8 × 0,839 ≈ 6,71 m
✅ Budova je vysoká přibližně 6,71 m.
2

🟡 Střední: Sklon střechy

Střecha má šířku (od hřebene k okapnici) 6 m a výšku hřebene 2 m. Jaký úhel svírá střecha s vodorovnou rovinou?

protilehlá = 2 m, přilehlá = 3 m (polovina šířky!)
tg α = 2 / 3 ≈ 0,667
α = arctan(0,667) ≈ 33,7°
✅ Střecha svírá se zemí úhel přibližně 34°.
3

🔴 Praktická: Délka žebříku

Chceš dosáhnout na okno ve výšce 3,5 m. Žebřík opřeš pod úhlem 70° ke zdi. Jak dlouhý musí být žebřík?

výška = protilehlá = 3,5 m, žebřík = přepona = c = ?
sin 70° = 3,5 / c
c = 3,5 / sin 70° = 3,5 / 0,940 ≈ 3,72 m
✅ Potřebuješ žebřík dlouhý alespoň 3,72 m. Kup raději 4metrový, ať máš rezervu!
🔗

Řetězová úloha — Stavíme dům

Krok 1 ze 4

Žebřík je 4 m dlouhý a opřený pod úhlem 65° ke zdi. Jaká je výška, kam dosáhne? (zaokrouhli na 2 desetinná místa)

Tip: sin 65° ≈ 0,906

Krok 2 ze 4

Jak daleko od domu je spodní konec žebříku? (přilehlá odvěsna, úhel 65°, přepona 4 m)

Tip: cos 65° ≈ 0,423

Krok 3 ze 4

Dům má střechu — hřeben je 3 m nad okapem. Okapnice je 4 m od středu domu. Jaký úhel svírá střecha se zemí? (výsledek v stupních, zaokrouhli na celé číslo)

Tip: tg α = 3/4 = 0,75 → α = arctan(0,75) ≈ 36,87°

Krok 4 ze 4 🏠

Jaká je délka střešního trámu (přepona) od hřebene k okapnici? Úhel střechy je 37°, přilehlá odvěsna = 4 m.

Tip: cos 37° ≈ 0,799, délka trámu = přilehlá / cos α

Krok 1 / 4
8

Paměťová pomůcka — SOH-CAH-TOA

Pamatuj si tuto zkratku

SOH · CAH · TOA
SOH Sinus = Opposite / Hypotenuse
Sin = Protilehlá / Přepona
CAH Cosinus = Adjacent / Hypotenuse
Cos = Přilehlá / Přepona
TOA Tangens = Opposite / Adjacent
Tg = Protilehlá / Přilehlá

Nebo česky: „Síně Přepona, Cosíně Přepona, Tangens Přilehlá" — ale SOH-CAH-TOA se pamatuje líp!

⚠️ Nejčastější chyby — pozor na ně!
❌
Záměna protilehlé a přilehlé odvěsny Vždy se ptej: „Protilehlá je naproti úhlu. Přilehlá vychází z vrcholu úhlu." Pokud si nejsi jistý, nakresli si trojúhelník a označ strany.
❌
Kalkulačka v radiánech místo stupňů sin 30° v DEG = 0,5. Sin 30 v RAD ≈ −0,988. Vždy zkontroluj, jestli svítí DEG!
❌
Použití špatné funkce Pokud nemáš přeponu a nepotřebuješ ji — je to tangens. Pokud máš přeponu a hledáš protilehlou — je to sinus. Vždy si vypiš, co víš a co hledáš.
❌
Dělení místo násobení Ze vzorce sin α = a/c vyjádříš a = c × sin α (násobení!), ne a = c / sin α. Vyjadřuj neznámou pečlivě krok za krokem.
❌
Špatné zaokrouhlení Goniometrické funkce jsou iracionální čísla. Nezaokrouhluj mezivýsledky — dosaď plnou hodnotu z kalkulačky a zaokrouhli až na konci.
🤖 Prompt pro AI — procvičování goniometrie

Zkopíruj a vlož do ChatGPT nebo Claude:

Buď mým učitelem goniometrie pro ZŠ. Zadávej mi slovní úlohy na sinus, cosinus a tangens v pravoúhlém trojúhelníku — vždy z reálného života (žebřík, strom, střecha, výška budovy). Začni lehkou úlohou a postupně přidávej obtížnost. Po každé mé odpovědi: 1) řekni jestli je správná 2) pokud ne, neptej se rovnou po výsledku — navedj mě otázkami 3) vždy ukaž správný postup. Celkem 5 úloh.
9

Shrnutí lekce

⭐ To nejdůležitější z celé lekce
FunkceVzorecKdy použítPříklad
Sinus sin α = a / c Mám přeponu, hledám protilehlou sin 30° = 0,5
Cosinus cos α = b / c Mám přeponu, hledám přilehlou cos 60° = 0,5
Tangens tg α = a / b Mám obě odvěsny, přepona není potřeba tg 45° = 1
⭐

Závěrečná výzva

🏆 Domácí úkol + praktická výzva

Domácí úkol (2 příklady):

  1. Letadlo stoupá pod úhlem 15°. Po vzletu urazí vzdálenost 2 000 m po dráze letu (přepona). Do jaké výšky stouplo? (výsledek: ≈ 518 m)
  2. Příčky žebříku jsou od sebe 30 cm. Žebřík je opřen pod úhlem 75° ke zdi. Kolik cm je mezi příčkami ve vodorovném směru? (výsledek: ≈ 7,76 cm)
🌳 Praktická výzva do přírody: Najdi strom nebo dům. Odstup od něj na odměřenou vzdálenost (třeba 10 m). Pomocí ruky nebo pravítka odhadni úhel pohledu na vrchol (30°? 45°? 60°). Spočítej výšku pomocí tangensu. Porovnej s odhadem souseda!