EasyMat | Statistická Laboratoř

Základní statistické pojmy

Teorie

📐 Míry polohy – co nám říkají data?

Aritmetický průměr

Součet všech hodnot vydělený jejich počtem. Citlivý na odlehlé hodnoty.

x̄ = (x₁+x₂+…+xₙ) / n

Medián

Prostřední hodnota seřazené řady. Odolný vůči extrémním hodnotám.

Prostřední prvek (lichý n) nebo průměr dvou středních (sudý n)

Modus

Hodnota, která se v souboru vyskytuje nejčastěji. Může být více módů.

Mo = nejčastější hodnota

Rozptyl (Variance)

Průměrná kvadratická odchylka od průměru. Měří rozptýlenost dat.

s² = Σ(xᵢ−x̄)² / n

Směrodatná odchylka

Odmocnina z rozptylu. Udává, jak moc se data liší od průměru.

s = √(Σ(xᵢ−x̄)² / n)

Rozsah (Range)

Rozdíl mezi maximální a minimální hodnotou v souboru.

R = xₘₐₓ − xₘᵢₙ

🔍 Kdy použít který ukazatel?

Situace	Doporučení	Proč?
Platy zaměstnanců (CEO odlehlá hodnota)	`Medián`	Průměr by byl zkreslen vysokým platem CEO
Průměrná teplota v měsíci	`Průměr`	Data jsou rovnoměrně distribuovaná
Nejpopulárnější velikost obuvi	`Modus`	Hledáme nejčastější, ne střední hodnotu
Výsledky testů (1–100 bodů)	`Průměr + odchylka`	Vidíme centrum i rozptyl skupiny
Ceny nemovitostí v různých čtvrtích	`Medián`	Luxusní byty zkreslují průměr

🧮 Statistický kalkulátor

Zadej čísla oddělená čárkami a vypočítám vše najednou:

Průměr

–

Medián

–

Modus

–

Min

–

Max

–

Rozsah

–

Odchylka

–

Počet

–

Lab 01 — Analýza třídy

Úroveň 1

👨‍👩‍👧 Věk a počty01-A

01
Věk 10 žáků: 10, 11, 10, 12, 11, 10, 11, 12, 10, 11. Vypočítej průměrný věk.
02
Počet knih: 3, 5, 2, 5, 4, 3, 5, 2, 3, 4. Urči modus.
03
Seřaď a najdi medián: 7, 3, 9, 5, 8, 6, 4.
04
Známky: 4, 3, 3, 2, 1, 2, 1, 4, 1, 1. Urči modus a průměr.
05
Body: 5, 7, 5, 6, 7, 8, 5, 6, 7, 8. Kolik různých hodnot se vyskytuje 3×?

01) průměr = 10,8
02) modus = 3 a 5 (bimodální)
03) seřazeno: 3,4,5,6,7,8,9 → medián = 6
04) modus = 1, průměr = 2,2
05) 5 a 7 se vyskytují 3× → 2 hodnoty

📐 Rozptyl a odchylka01-B

06
Soubor: 2, 4, 6, 8, 10. Vypočítej průměr.
07
Výšky: 140, 142, 138, 145, 140, 143, 141. Průměr a rozsah.
08
Najdi medián: 22, 18, 20, 19, 21.
09
Data: 3, 3, 5, 7, 7, 9. Průměr a medián (sudý počet).
10
Teploty: -2, 0, 3, -1, 5, 4, 2. Průměrná teplota?

06) průměr = 6
07) průměr = 141,3 cm, rozsah = 7 cm
08) seřazeno: 18,19,20,21,22 → medián = 20
09) průměr = 5,67, medián = (5+7)/2 = 6
10) průměr = 11/7 ≈ 1,57 °C

🧠 Kvíz – Základní pojmy

Skóre: 0 / 5

Lab 02 — Grafická analýza & četnosti

Úroveň 2

📊 Tabulky četností02-A

11
Výsledky hodu kostkou (10 hodů): 3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, 3. Kolik hodnot se vyskytlo právě 1×?
12
Třídy četností: data 12, 15, 14, 16, 13, 15, 14, 15, 12, 16. Kolik je absolutní četnost hodnoty 15?
13
Relativní četnost: hodnota 14 se vyskytla 2× z 10. Relativní četnost v %?
14
Kumulativní četnost: hodnoty 1–3 mají četnosti 2, 3, 4. Kumulativní četnost pro hodnotu 3?
15
Ze 30 žáků dostalo jedničku 6 žáků. Relativní četnost jedniček?

11) 1,4,9,2,6,5,3 = 7 hodnot po 1×
12) 15 se vyskytuje 3×
13) 2/10 = 20 %
14) 2+3+4 = 9
15) 6/30 = 20 %

🏙️ Reálná data02-B

16
Praha 1,4M, Vídeň 1,9M, Berlín 3,7M, Madrid 3,3M. Průměr?
17
Z předchozího: jaký je medián počtu obyvatel?
18
Prodeje aut (tis.): Škoda 60, Mercedes 45, Audi 55, BMW 50. Průměr?
19
Teploty v týdnu: 18, 21, 17, 24, 22, 19, 20. Medián?
20
Ceny bytů (tis. Kč): 3200, 4100, 2800, 5500, 3800. Rozsah?

16) (1,4+1,9+3,7+3,3)/4 = 10,3/4 = 2,575 M
17) seřazeno: 1,4 / 1,9 / 3,3 / 3,7 → medián = (1,9+3,3)/2 = 2,6 M
18) (60+45+55+50)/4 = 52,5 tis.
19) seřazeno: 17,18,19,20,21,22,24 → medián = 20
20) 5500−2800 = 2700 tis. Kč

Lab 03 — Rozptyl a směrodatná odchylka

Úroveň 3

⚙️ Jak vypočítat rozptyl a odchylku — krok za krokem

Krok 1

Vypočítej aritmetický průměr x̄ ze všech hodnot.

Krok 2

Od každé hodnoty odečti průměr: (xᵢ − x̄)

Krok 3

Výsledky umocni na druhou: (xᵢ − x̄)²

Krok 4

Sečti všechny umocněné odchylky a vyděl počtem n.

Krok 5

Pro směrodatnou odchylku vezmi odmocninu z rozptylu.

Příklad

Data: 2, 4, 6 → x̄ = 4
Odchylky²: 4, 0, 4 → s² = 8/3 ≈ 2,67
s ≈ 1,63

📏 Výpočty rozptylu03-A

21
Data: 1, 3, 5. Průměr = 3. Rozptyl s²?
22
Data: 4, 4, 4, 4. Jaká je směrodatná odchylka?
23
Výsledky dvou tříd. Třída A: průměr 70, s = 5. Třída B: průměr 70, s = 15. Která má homogennější výsledky?
24
Data: 10, 20, 30, 40, 50. Rozsah? Průměr?
25
Platy (tis. Kč): 20, 22, 25, 80, 21. Průměr vs. medián. Který lépe reprezentuje typický plat?

21) (1−3)²+(3−3)²+(5−3)² = 4+0+4 = 8, s² = 8/3 ≈ 2,67
22) s = 0 (všechna data stejná)
23) Třída A (menší odchylka = homogennější)
24) rozsah = 40, průměr = 30
25) medián = 22 (průměr = 33,6 je zkreslen platovou odlehlostí 80)

🎯 Aplikace v praxi03-B

26
Výrobní linka: průměr délky šroubů = 50 mm, s = 0,1 mm. Šrouby 49,8–50,2 mm jsou OK. Kolik % šroubů je v toleranci? (přibližně)
27
Délky řad supermarketu: 3, 7, 5, 6, 4, 5 lidí. Průměr a modus?
28
Výška rostlin (cm) po dvou týdnech: 12, 15, 11, 14, 13. Průměrný přírůstek pokud původně měřily 10 cm?
29
Závodník: časy 100 m (s): 12.3, 12.1, 12.5, 12.2, 11.9. Nejlepší čas? Průměr?
30
10 studentů, průměrný věk 20 let. Přijde nový 30letý. Nový průměrný věk?

26) ±2σ = ±0,2mm → ≈ 95% (empirické pravidlo 2σ)
27) průměr = 30/6 = 5, modus = 5
28) průměr = 13 cm, přírůstek = 13−10 = 3 cm
29) nejlepší = 11,9 s, průměr = 12,2 s
30) celkem = 10×20+30 = 230, nový průměr = 230/11 ≈ 20,91 let

🎯 Kvíz – Rozptyl a odchylka

Skóre: 0 / 4

Lab 04 — Pokročilé & kombinované úlohy

Úroveň 4

🔗 Kombinované úlohy04-A

31
Průměr 5 čísel je 12. Čtyři čísla jsou 10, 11, 14, 13. Jaké je páté číslo?
32
Mediánem souboru 5 hodnot je 8. Hodnoty jsou 5, ?, 8, 10, 12 (seřazené). Jakou hodnotu může mít neznámá?
33
Data A: {2,4,6,8} a data B: {1,4,7,8}. Která množina má větší rozptyl?
34
Průměr třídy 25 žáků je 70 bodů. Učitel přidá každému 5 bodů. Nový průměr?
35
Soubor: x, x, x+3, x+5, x+7. Průměr = 10. Najdi x.

31) suma = 5×12 = 60, 60−(10+11+14+13) = 60−48 = 12
32) libovolná hodnota 5–8 (aby 8 zůstal mediánem)
33) B (větší rozptýlení od středu)
34) průměr se posune o 5 → 75 bodů
35) (x+x+x+3+x+5+x+7)/5 = 10 → 5x+15 = 50 → x = 7

🧩 Pravděpodobnost intro04-B

36
Hodíme spravedlivou kostkou. Pravděpodobnost, že padne 6? (v %)
37
Pytel: 4 červené a 6 modré kuličky. Pravděpodobnost vytažení červené? (v %)
38
Dvakrát hodíme mincí. Pravděpodobnost, že 2× padne orel? (v %)
39
Test 10 otázek, každá ano/ne. Náhodně odpovídám. Kolik bodů průměrně dostanu?
40
Z 1000 výrobků je 30 vadných. Pravděpodobnost výběru vadného? (%)

36) 1/6 ≈ 16,67 %
37) 4/10 = 40 %
38) (1/2)×(1/2) = 1/4 = 25 %
39) 10 × 0,5 = 5 bodů (střední hodnota)
40) 30/1000 = 3 %

🏆 Kvíz – Pokročilé

Skóre: 0 / 4

Vizualizační laboratoř

Interaktivní grafy

📊 Živý histogram – analýza souboru

Zadej čísla do kalkulátoru výše a sleduj, jak se mění histogram v reálném čase.

💡 Zadej data do kalkulátoru nebo zvol demo.

🎲 Modus – vizualizace četností

Data: 5, 7, 9, 6, 8, 5, 5, 7, 9, 6, 5, 8

Modus: 5 (vyskytuje se 4×) | Medián: 6,5 | Průměr: ≈ 6,75

📈 Porovnání průměr vs. medián

Vliv odlehlé hodnoty na průměr (platy v tis. Kč)

Průměr: 52 tis. | Medián: 32 tis. | Odlehlá hodnota CEO: 200 tis.

Analyzuj data,ovládni statistiku