Pokrok v lekci
⭐ 0 XP
🧮 Algebra · Rovnice

Rovnice & Nerovnice
krok za krokem

Přijímačky bez obav – matematika snadno a přehledně.

50 mindélka lekce
4témata
70+příkladů
280 XPza lekci
EasyMat.cz› Algebra› Rovnice & Nerovnice
// modul 01 · základy rovnic
📺
Výklad
Co je rovnice a kolik má řešení

🔍 Co je neznámá?

Neznámá je číslo, které neznáme a chceme ho vypočítat – obvykle jedna konkrétní hodnota.

\[ x + 3 = 7 \implies x = 4 \] \[ 3y = 15 \implies y = 5 \]
✅ Neznámou obvykle označujeme x, y, a, b…

♾️ Kolik má rovnice řešení?

Nekonečně mnoho (x ∈ ℝ):

\[ x+1 = x+1 \implies 0 = 0 \]

Žádné (x ∈ ∅):

\[ x+3 = x \implies 3 = 0 \text{ ← spor!} \]

Jedno řešení x = 0:

\[ 4x = 0 \implies x = 0 \]

➗ Násobení a dělení rovnice

Celou rovnici můžeme násobit nebo dělit libovolným číslem ≠ 0. Každý člen se upraví!

\[ 4x = 8 \quad |:4 \] \[ \frac{4x}{4} = \frac{8}{4} \implies x = 2 \]
⚠️ Členy jsou odděleny znaménky + nebo −

↔️ Přičítání a odčítání

Člen přesunutý na druhou stranu rovnice změní znaménko.

\[ x + 5 = 12 \implies x = 12 - 5 = 7 \] \[ 3x = x - 4 \implies 3x - x = -4 \implies x = -2 \]
💡 Vždy přesouvej čísla na jednu stranu, x na druhou
// modul 02 · procvičování rovnic
✏️
Cvičení · Úroveň 1
Jednoduché rovnice – násobení, dělení, přesouvání

⚙️ Sada A – násobení a dělení

  1. \(5x = 15\)
  2. \(4y = 12\)
  3. \(2z = 5\)
  4. \(3a = -6\)
  5. \(-6b = 18\)
  6. \(\displaystyle \frac{c}{2} = 7\)
  7. \(-3a = -9\)
  8. \(-b = 8\)
  9. \(\displaystyle \frac{c}{3} = -2\)
1) 3  2) 3  3) 5/2  4) -2  5) -3  6) 14  7) 3  8) -8  9) -6

⚙️ Sada B – zlomky a záporná čísla

  1. \(3x = -15\)
  2. \(2b = -9\)
  3. \(-3x = 9\)
  4. \(\displaystyle \frac{z}{4} = 5\)
  5. \(\displaystyle -\frac{2x}{3} = 6\)
  6. \(\displaystyle -\frac{3x}{4} = 0{,}5\)
  7. \(\displaystyle 0y = -\frac{2}{3}\)
  8. \(\displaystyle -\frac{2x}{3} = -\frac{4}{7}\)
1) -5  2) -9/2  3) -3  4) 20  5) -9  6) 2/3  7) žádné řešení  8) 6/7

⚙️ Sada C – přesouvání členů

  1. \(4x + 6 = x + 3\)
  2. \(2y - 5 = y + 7\)
  3. \(3a + 2 = 5a - 4\)
  4. \(x + 8 = 3x + 2\)
  5. \(-2b + 6 = 4b - 6\)
  6. \(5c - 3 = 2c + 9\)
1) -1  2) 12  3) 3  4) 3  5) 2  6) 4

⚙️ Sada D – desetinná čísla

  1. \(x + 3 = 7\)
  2. \(2x - 5 = 9\)
  3. \(-3x + 2 = -11x\)
  4. \(-10 = 5 - 2x\)
  5. \(4x - 10 = -2\)
  6. \(0{,}5x - 1 = 2x + 6{,}2\)
  7. \(-0{,}2x = -1{,}2x + 6\)
  8. \(3 \cdot 0{,}4 + 2x : 4 = 0{,}2x + 6\)
  9. \(2 \cdot 0{,}4x + 0{,}4 = 0{,}2x + 6 : 3\)
1) 4  2) 7  3) -1/4  4) 15/2  5) 2  6) -24/5  7) 6  8) 16  9) 8/3
🎯 Otestuj se
Jaké je řešení rovnice \(3x - 6 = 9\)?
Rovnice \(x + 2 = x - 5\) má:
✏️
Cvičení · Úroveň 2
Závorky a kombinované výrazy
⚠️ Nápověda: nejdřív roznásob závorky, pak teprve přesouvej členy

🔣 Sada E – závorky

  1. \(2(x + 3) = -7(x + 5)\)
  2. \(2x - 5 = 0{,}4(x - 1)\)
  3. \(3x + 2(x + 6) = 11\)
  4. \(-3(x + 2) = 5 + 0{,}3x\)
  5. \(5x - 3 = 2x + 1{,}2(x - 6)\)
  6. \((x - 1)(x+2) = (x-3)(x - 6)\)
  7. \(-x(2x - 1) = 2x - 2x(x - 6)\)
  8. \(5(2x + 1) = (8x - 6) : 2\)
1) -41/9  2) 2  3) 1  4) -11/3  5) 3  6) 2  7) 0  8) -4/3

🔣 Sada F – desetinná čísla + zlomky

💡 Rovnici vynásob – zbav se desetinných čísel
  1. \(\displaystyle 0{,}5x + 0{,}2 = 4x + \frac{1}{4}\)
  2. \(\displaystyle 1{,}2x - 3 = 2{,}6 + \frac{1}{4}\)
  3. \(\displaystyle 3{,}75 + 0{,}25x = -\frac{1}{3} + 5{,}25\)
  4. \(\displaystyle 2{,}1x = 6 + 0{,}2x - \frac{1}{2}\)
  5. \(4{,}6x - 1{,}2 = 2{,}2x + 3{,}8\)
  6. \(0{,}5 \cdot 0{,}4x + 0{,}2 : 0{,}04 = 0{,}4x\)
  7. \(0{,}3 \cdot 6x - 1{,}2 \cdot 2 = x + 3{,}8\)
  8. \(2{,}5(2x - 0{,}6) + 2x = 3 + 1{,}5x\)
1) 4  2) 14/3  3) 6  4) 60/19  5) 2,5  6-8) viz nápověda
// modul 03 · rovnice se zlomky
💡
Řešený příklad
Jak se zbavit zlomků v rovnici

📌 Klíčový postup – zbav se zlomků

Zadání:

\[ \frac{x}{3} + \frac{1}{2} = \frac{5}{6} \]

1. Najdeme společný jmenovatel = 6:

\[ 6 \cdot \frac{x}{3} + 6 \cdot \frac{1}{2} = 6 \cdot \frac{5}{6} \]

2. Vynásobíme každý člen:

\[ 2x + 3 = 5 \]

3. Přesuneme, vyřešíme:

\[ 2x = 2 \implies x = 1 \]
✅ Zlaté pravidlo: vynásob celou rovnici společným jmenovatelem → zlomky zmizí
⚠️ Každý člen musíš vynásobit – i ty bez zlomku!
Jaký je společný jmenovatel pro \(\frac{x}{4}\) a \(\frac{1}{6}\)?
✏️
Cvičení
Rovnice se zlomky – čtyři sady

½ Sada G – základní zlomkové rovnice

  1. \(\displaystyle \frac{1}{2}y + 3 = 5\)
  2. \(\displaystyle \frac{3}{4}x - 2 = 1\)
  3. \(\displaystyle 2 + \frac{5}{6}x = \frac{5}{3}\)
  4. \(\displaystyle -\frac{1}{2} \cdot \frac{7}{3}x = 14\)
  5. \(\displaystyle \frac{2}{5}a + 1 = \frac{3}{5}a - 2\)
1) 4  2) 4  3) 12/5  4) 6  5) 15

½ Sada H – zlomky + desetinná čísla

  1. \(\displaystyle \frac{1}{2}z + 1{,}5 = 3\)
  2. \(\displaystyle 0{,}4x - \frac{2}{5} = 1{,}2\)
  3. \(\displaystyle \frac{3}{4}p + 2{,}1 = 4{,}6\)
  4. \(\displaystyle 1{,}25 + \frac{2}{3}x = 3{,}5\)
  5. \(\displaystyle \frac{5}{8}b - 0{,}75 = \frac{1}{4}b + 0{,}5\)
1) 3  2) 4  3) 2  4) 27/8  5) 4

½ Sada I – zlomky v čitateli

  1. \(\displaystyle \frac{4x + 3}{3} = 5 \cdot \frac{2b - 1}{4}\)
  2. \(\displaystyle -\frac{2x - 1}{4} + 1 = 3\)
  3. \(\displaystyle \frac{5x + 7}{2} = -\frac{3x + 1}{2}\)
  4. \(\displaystyle \frac{6x - 2}{5} = 4\)
  5. \(\displaystyle 1 + \frac{3a + 6}{4} = 5{,}5\)
1) -18/17  2) -7  3) -2  4) 11/3  5) 7/3

½ Sada J – pokročilé (přijímačky)

  1. \(\frac{4b+3}{3} - \frac{2b-1}{4} = \frac{1}{2}b + 1{,}5\)
  2. \(2(2x - \frac{3}{4}) = 3(x - \frac{4}{5})\)
  3. \(3(x + \frac{1}{3}) = 4x - 2(2x - \frac{5}{6})\)
  4. \(\frac{2x-5}{3} + 0{,}5x = \frac{4x+1}{6} + 1\)
  5. \(\frac{3x+2}{4} - \frac{x-1}{2} = 1{,}5x - 0{,}5\)
  6. \(\frac{7x-2}{5} + 0{,}4x = \frac{2x+3}{2}\)
  7. \(\frac{4x+1}{3} - \frac{5x-2}{6} = x + 0{,}5\)
  8. \(2x - \frac{3}{5}(x+4) = \frac{x-2}{2}\)
1) 3/4  2) -0,9  3) 2/9  4) 17/3  5) 2  6) 5  7) 1  8) 5
🧮 Vyřeš: \(\displaystyle \frac{3}{4}x - 2 = 1\)  →  x = ?
💡 Přičti 2 k oběma stranám → 3/4 x = 3 → vynásob 4/3
// modul 04 · nerovnice
📺
Výklad
Jak řešit nerovnice – klíčový rozdíl od rovnic

< > Postup řešení nerovnice

Řešíme stejně jako rovnici, ALE:

\[ 2x + 3 > 7 \]

1. Odečteme 3:

\[ 2x > 4 \]

2. Vydělíme 2:

\[ x > 2 \]

Výsledkem jsou všechna čísla větší než 2.

⚠️ Pozor – záporné násobení!

🚨 Když násobíme nebo dělíme záporným číslem, obrátíme znaménko nerovnosti!

Příklad:

\[ -2x < 6 \quad |:(-2) \] \[ x > -3 \]
= toto je nejčastější chyba na přijímačkách!
✏️
Cvičení
Nerovnice – 14 příkladů

≤ Nerovnice – část 1

  1. \(x + 3 < 7\)
  2. \(2x - 4 \geq 6\)
  3. \(-3x + 5 \leq 2x\)
  4. \(4x - 1 > 3x + 6\)
  5. \(-2x + 8 \leq 4\)
  6. \(x - 7 \geq -2x + 5\)
  7. \(5x + 3 < 5x + 6\)
1) x<4  2) x≥5  3) x≥1  4) x>7  5) x≥2  6) x≥4  7) x∈ℝ (vždy)

≥ Nerovnice – část 2

  1. \(3(x - 2) \leq 2x + 1\)
  2. \(4x + 1 > 2x + 7\)
  3. \(5 - x \leq 2x + 2\)
  4. \(2(x + 1) \geq 3x - 4\)
  5. \(-x + 3 < 2x - 6\)
  6. \(6x - 2 \geq 4x + 4\)
  7. \(3(x - 4) < x + 1\)
1) x≤7  2) x>3  3) x≥1  4) x≤6  5) x>3  6) x≥3  7) x<4
Vyřeš: \(-3x > 9\). Co je správné řešení?
// modul 05 · soustavy rovnic
📺
Výklad
Sčítací a dosazovací metoda

➕ Metoda sčítací

Zadání:

\[\begin{cases}2x + 3y = 8 \\ 4x - 3y = 2\end{cases}\]

Krok 1: Sečteme rovnice (3y se vyruší):

\[6x = 10 \implies x = \frac{5}{3}\]

Krok 2: Dosadíme do první rovnice:

\[2 \cdot \frac{5}{3} + 3y = 8 \implies 3y = \frac{14}{3} \implies y = \frac{14}{9}\]

🔁 Metoda dosazovací

Zadání:

\[\begin{cases}x + y = 4 \\ 2x - y = 1\end{cases}\]

Krok 1: Vyjádříme y z první rovnice:

\[y = 4 - x\]

Krok 2: Dosadíme do druhé:

\[2x - (4-x) = 1 \implies 3x = 5 \implies x = \frac{5}{3}\]

Krok 3: Dosadíme zpět:

\[y = 4 - \frac{5}{3} = \frac{7}{3}\]
✏️
Cvičení
Soustavy rovnic – 8 příkladů

∑ Sada K – soustavy (základ)

  1. 1. \(\begin{cases}x + y = 7 \\ x - y = 3\end{cases}\)
  2. 2. \(\begin{cases}2x + y = 10 \\ x - y = 1\end{cases}\)
  3. 3. \(\begin{cases}3x + 2y = 12 \\ x + y = 5\end{cases}\)
  4. 4. \(\begin{cases}x + 2y = 8 \\ 2x - y = 3\end{cases}\)
1) x=5,y=2  2) x=3,y=4  3) x=2,y=3  4) x=3,y=2,5

∑ Sada L – soustavy (pokročilé)

  1. 1. \(\begin{cases}2x + 3y = 13 \\ x - y = 1\end{cases}\)
  2. 2. \(\begin{cases}3x - y = 7 \\ 4x + 2y = 20\end{cases}\)
  3. 3. \(\begin{cases}x + 4y = 14 \\ 2x - y = 3\end{cases}\)
  4. 4. \(\begin{cases}5x - 2y = 9 \\ 3x + y = 12\end{cases}\)
1) x=4,y=3  2) x=3,y=2  3) x=5,y=2  4) x=3,y=3
Soustava \(\begin{cases}x+y=5 \\ x-y=1\end{cases}\) – jaké je řešení?
⭐ +20 XP!