Mocniny a Odmocniny

Teorie

Základ násobíme tolikrát, kolik udává exponent.

\(5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125\)
\((-2)^2 = 4 \quad | \quad -4^2 = -16\)
\(\sqrt{2500} = 50 \quad | \quad \sqrt{0{,}36} = 0{,}6\)

Odmocniny – velká čísla

  1. \(\sqrt{360\,000}\)
  2. \(\sqrt{1\,600}\)
  3. \(\sqrt{81\,000\,000}\)
  4. \(\sqrt{250\,000}\)
  5. \(\sqrt{400}\)
  6. \(\sqrt{4\,900}\)
1) 600   2) 40   3) 9 000   4) 500   5) 20   6) 70

Odmocniny – desetinná čísla

  1. \(\sqrt{0{,}0004}\)
  2. \(\sqrt{0{,}000025}\)
  3. \(\sqrt{0{,}00000081}\)
  4. \(\sqrt{0{,}01}\)
  5. \(\sqrt{0{,}0009}\)
  6. \(\sqrt{0{,}00000049}\)
1) 0,02   2) 0,005   3) 0,0009   4) 0,1   5) 0,03   6) 0,0007

Měřítko mapy

\[ \text{skutečnost} = \text{mapa} \times \text{měřítko} \] \[ \text{mapa} = \frac{\text{skutečnost}}{\text{měřítko}} \]
Měřítko 1 : n – jedna jednotka na mapě odpovídá n jednotkám ve skutečnosti.
Při měřítku 1 : 25 000 → 1 cm na mapě = 25 000 cm = 250 m = 0,25 km ve skutečnosti.
Tip: převod cm → km: vyděl 100 000.
🗺️

Krok za krokem: Jak řešit úlohy s měřítkem?

Ukázka na třech typech příkladů

TYP 1 – mapa → skutečnost

Na mapě znám vzdálenost, chci skutečnou

Úloha: Měřítko 1 : 50 000. Na mapě naměřím 7 cm. Jak daleko jsou body ve skutečnosti (v km)?

Krok 1: Zapíšu vzorec
skutečnost = mapa × měřítko

Krok 2: Dosadím
skutečnost = 7 cm × 50 000 = 350 000 cm

Krok 3: Převedu na km (÷ 100 000)
350 000 cm ÷ 100 000 = 3,5 km
Zkratka: 7 × 50 000 = 350 000 cm → posuň desetinnou čárku o 5 míst doleva → 3,5 km
TYP 2 – skutečnost → mapa

Znám skutečnou vzdálenost, hledám délku na mapě

Úloha: Měřítko 1 : 25 000. Cesta je 2 km dlouhá. Kolik cm bude na mapě?

Krok 1: Převedu skutečnost na cm
2 km = 200 000 cm

Krok 2: Vydělím měřítkem
mapa = 200 000 ÷ 25 000 = 8 cm

Ověření: 8 cm × 25 000 = 200 000 cm = 2 km ✓
Pořadí: vždy nejdřív převeď na stejné jednotky (cm), pak děl/násob!
TYP 3 – zjistit měřítko

Znám obě vzdálenosti, hledám měřítko

Úloha: Na mapě 4 cm, ve skutečnosti 600 m. Jaké je měřítko?

Krok 1: Převedu na stejné jednotky
skutečnost = 600 m = 60 000 cm

Krok 2: Vydělím skutečnost délkou na mapě
60 000 ÷ 4 = 15 000

Výsledek: Měřítko je 1 : 15 000
BONUS – plocha v měřítku

Pozor: plocha se přepočítává jinak!

Úloha: Měřítko 1 : 1 000. Pozemek na mapě má plochu 6 cm². Jaká je skutečná plocha?

Délky: měřítko = 1 000 → délka × 1 000
Plocha: měřítko² = 1 000 000 → plocha × 1 000 000

6 cm² × 1 000 000 = 6 000 000 cm² = 600 m²
Pro plochu umocni měřítko na druhou – nejčastější chyba v testech!
Sada 1 – mapa → skutečnost
  1. Měřítko 1 : 10 000, na mapě 5 cm → skutečnost v km?
  2. Měřítko 1 : 25 000, na mapě 8 cm → skutečnost v km?
  3. Měřítko 1 : 50 000, na mapě 3,5 cm → skutečnost v km?
  4. Měřítko 1 : 100 000, na mapě 4,2 cm → skutečnost v km?
  5. Měřítko 1 : 15 000, na mapě 10 cm → skutečnost v km?
  6. Měřítko 1 : 200 000, na mapě 2,5 cm → skutečnost v km?
  7. Měřítko 1 : 40 000, na mapě 7 cm → skutečnost v km?
  8. Měřítko 1 : 75 000, na mapě 5 cm → skutečnost v km?
1) 0,5 km   2) 2 km   3) 1,75 km   4) 4,2 km   5) 1,5 km   6) 5 km   7) 2,8 km   8) 3,75 km
Sada 2 – skutečnost → mapa
  1. Skutečnost 2 km, měřítko 1 : 20 000 → na mapě cm?
  2. Skutečnost 750 m, měřítko 1 : 25 000 → na mapě cm?
  3. Skutečnost 5 km, měřítko 1 : 50 000 → na mapě cm?
  4. Skutečnost 3,6 km, měřítko 1 : 90 000 → na mapě cm?
  5. Skutečnost 12 km, měřítko 1 : 150 000 → na mapě cm?
  6. Skutečnost 400 m, měřítko 1 : 10 000 → na mapě cm?
  7. Skutečnost 8 km, měřítko 1 : 200 000 → na mapě cm?
  8. Skutečnost 1,5 km, měřítko 1 : 30 000 → na mapě cm?
1) 10 cm   2) 3 cm   3) 10 cm   4) 4 cm   5) 8 cm   6) 4 cm   7) 4 cm   8) 5 cm
Sada 3 – zjisti měřítko
  1. Na mapě 4 cm, ve skutečnosti 600 m → měřítko?
  2. Na mapě 5 cm, ve skutečnosti 2,5 km → měřítko?
  3. Na mapě 8 cm, ve skutečnosti 4 km → měřítko?
  4. Na mapě 3 cm, ve skutečnosti 1,5 km → měřítko?
  5. Na mapě 6 cm, ve skutečnosti 900 m → měřítko?
1) 1 : 15 000   2) 1 : 50 000   3) 1 : 50 000   4) 1 : 50 000   5) 1 : 15 000
Sada 4 – smíšené a těžší
  1. Obec A a B jsou od sebe 45 km. Jaká je vzdálenost na mapě 1 : 500 000?
  2. Park má na mapě (1 : 2000) rozměry 8 cm × 5 cm. Jaká je skutečná plocha v m²?
  3. Turistická trasa je na mapě 1 : 25 000 dlouhá 14,4 cm. Kolik km?
  4. Hřiště 90 m × 45 m. Na mapě 1 : 1 000, jaké rozměry v cm?
  5. Dvě vesnice 6,8 km od sebe. Na mapě 1 : 200 000 – kolik cm?
1) 9 cm   2) 80 000 m² (8 ha)   3) 3,6 km   4) 9 cm × 4,5 cm   5) 3,4 cm

🔗 Řetězová úloha: Turistický výlet

Každý krok závisí na předchozím. Řeš postupně!

1

Mapa má měřítko 1 : 50 000. Na mapě naměříš vzdálenost 6 cm.
Kolik km je to ve skutečnosti? (jen číslo, bez jednotky)

💡 skutečnost = 6 × 50 000 cm → převeď na km (÷ 100 000)
2

Trasa je tedy ? km dlouhá. Turisté jdou rychlostí 2,5 km/h. Za kolik minut trasu zdolají?

💡 čas v hodinách = 3 ÷ 2,5 = 1,2 h. Převeď na minuty (× 60).
3

Na mapě je ještě jezero, které má plochu 0,16 cm². Jaká je skutečná plocha jezera v ha?
(1 ha = 10 000 m²; plocha se násobí měřítkem²)

💡 0,16 cm² × 50 000² = ? cm² → převeď na m² (÷ 10 000) → na ha (÷ 10 000)
4

Obvodová cesta kolem jezera (tvar čtverce) má délku 4 strany. Jedna strana je √jezera_plocha_m² metrů.
Jezero má plochu 40 000 m². Jedna strana = √40 000 = 200 m. Celý obvod = 800 m.
Na mapě 1 : 50 000 – kolik cm bude obvod jezera?

💡 mapa = 80 000 cm ÷ 50 000 = ?

Měřítko mapy – shrnutí

  • Měřítko 1 : n → 1 jednotka na mapě = n jednotek ve skutečnosti.
  • Skutečnost = délka na mapě × n.   Mapa = skutečnost ÷ n.
  • Vždy převeď na stejné jednotky (nejlépe cm) PŘED výpočtem.
  • Km → cm: × 100 000.   cm → km: ÷ 100 000.
  • Plocha: násobíš n² (ne n!). Délky × n, plochy × n².
  • Měřítko zjistíš jako: skutečnost (cm) ÷ mapa (cm).

Poměr

\[ a : b = \frac{a}{b} \qquad \text{celek} = k \cdot (a + b) \]
Poměr a : b – říká, kolikrát je první hodnota větší/menší než druhá.
Při dělení celku: najdi jeden díl = celek ÷ (součet částí). Pak každou část × příslušný koeficient.
Př.: Děl 300 Kč v poměru 2 : 3 → 1 díl = 300 ÷ 5 = 60 Kč → části: 120 Kč a 180 Kč.
⚖️

Krok za krokem: Typy úloh s poměrem

Procházíme 4 hlavní typy příkladů

TYP 1 – dělení v poměru

Rozděl 840 Kč v poměru 3 : 4 : 5

Krok 1: Součet dílů = 3 + 4 + 5 = 12

Krok 2: Jeden díl = 840 ÷ 12 = 70 Kč

Krok 3: Každá část:
  A = 3 × 70 = 210 Kč
  B = 4 × 70 = 280 Kč
  C = 5 × 70 = 350 Kč

Ověření: 210 + 280 + 350 = 840 ✓
TYP 2 – poměr ze zadaných hodnot

Dva žáci mají 15 a 25 samolepek. Urči poměr.

Krok 1: Zapíšu poměr: 15 : 25

Krok 2: Zjednodušuji (dělím největším společným dělitelem = 5)
15 ÷ 5 : 25 ÷ 5 = 3 : 5

Ověření: 3 × 5 = 15 ✓   5 × 5 = 25 ✓
Poměr vždy zjednodušuj na nejmenší přirozená čísla!
TYP 3 – součet nebo rozdíl v poměru

Rozdíl dvou čísel v poměru 3 : 5 je 8. Najdi čísla.

Krok 1: Rozdíl dílů = 5 − 3 = 2 díly

Krok 2: 1 díl = 8 ÷ 2 = 4

Krok 3: Čísla:
  A = 3 × 4 = 12
  B = 5 × 4 = 20

Ověření: 20 − 12 = 8 ✓   12 : 20 = 3 : 5 ✓
TYP 4 – geometrie a poměr

Strany obdélníku jsou v poměru 4 : 7, obvod = 88 cm.

Krok 1: Obvod obdélníku = 2(a + b), takže a + b = 88 ÷ 2 = 44 cm

Krok 2: Jeden díl = 44 ÷ (4 + 7) = 44 ÷ 11 = 4 cm

Krok 3: Strany:
  a = 4 × 4 = 16 cm
  b = 7 × 4 = 28 cm

Ověření: 2×(16+28) = 2×44 = 88 cm ✓
U obdélníku: součet délek stran = obvod ÷ 2!
Sada A – Dělení celku
  1. Rozděl 480 Kč v poměru 1 : 2 : 3.
  2. Odměna 7 200 Kč pro tři lidi v poměru 2 : 3 : 5. Kolik dostane každý?
  3. Strany trojúhelníka jsou v poměru 2 : 3 : 4, obvod = 45 cm. Délky stran?
  4. Dva investoři vložili peníze v poměru 3 : 7. Zisk je 120 000 Kč. Kolik dostane každý?
  5. Smíchej kyselinu a vodu v poměru 1 : 9 pro 500 ml roztoku. Kolik ml od každého?
  6. Třída má chlapce a dívky v poměru 5 : 7. Celkem 36 žáků. Kolik chlapců a dívek?
1) 80, 160, 240 Kč   2) 1 440, 2 160, 3 600 Kč   3) 10, 15, 20 cm
4) 36 000, 84 000 Kč   5) 50 ml, 450 ml   6) 15 chlapců, 21 dívek
Sada B – Součet a rozdíl
  1. Rozdíl dvou čísel v poměru 3 : 5 je 8. Urči obě čísla.
  2. Součet dvou čísel v poměru 2 : 7 je 81. Čísla?
  3. Věk otce a syna je v poměru 7 : 3. Součet věků = 50 let. Věky?
  4. Dvě čísla jsou v poměru 5 : 8. Jejich rozdíl je 21. Čísla?
  5. Pracovní doba dvou brigádníků je v poměru 3 : 4. Pracují dohromady 56 hod. Kolik hodin každý?
  6. Platy dvou zaměstnanců jsou v poměru 5 : 6. Dohromady berou 44 000 Kč. Platy?
1) 12 a 20   2) 18 a 63   3) 35 a 15 let   4) 35 a 56   5) 24 a 32 hod   6) 20 000 a 24 000 Kč
Sada C – Geometrie
  1. Strany obdélníku jsou v poměru 4 : 7, obvod = 88 cm. Délky stran?
  2. Plocha obdélníku (poměr stran 5 : 2) je 250 cm². Rozměry?
  3. Trojúhelník se stranami v poměru 5 : 12 : 13, nejdelší strana = 26 cm. Ostatní?
  4. Obvod čtverce a rovnostranného trojúhelníku je v poměru 4 : 3. Strana čtverce = 12 cm. Strana trojúhelníku?
  5. Výška a základna trojúhelníku jsou v poměru 3 : 8. Plocha = 48 cm². Délky?
1) 16 a 28 cm   2) 25 a 10 cm   3) 10 a 24 cm   4) 16 cm   5) v = 6 cm, z = 16 cm
Sada D – Složené slovní úlohy
  1. Pracovník A zvládne zakázku za 6 hod, B za 9 hod. Jak dlouho ji zvládnou společně?
  2. Recept na 4 porce: 300 g mouky. Kolik pro 6 porcí?
  3. Smíchám 200 ml džusu a 300 ml vody. Zjednodušuj poměr džusu : vody.
  4. Cena auta klesla z 250 000 na 200 000 Kč. Nová : stará cena poměrem?
  5. Farma má koně, krávy a prasata v poměru 1 : 3 : 6. Celkem 120 zvířat. Kolik od každého?
  6. Výrobek stojí 1 500 Kč. Zisk : cena = 1 : 5. Výše zisku?
1) 3,6 hod = 3 hod 36 min   2) 450 g   3) 2 : 3   4) 4 : 5   5) 12, 36, 72   6) 300 Kč

🔗 Řetězová úloha: Třídní výlet

Řeš kroky postupně – výsledek jednoho vstupuje do dalšího

1

Ve třídě jsou chlapci a dívky v poměru 2 : 3. Celkem je 25 žáků.
Kolik je dívek?

💡 1 díl = 25 ÷ (2+3) = 5. Dívky = 3 × 5.
2

Je ? dívek. Každý žák přispívá na výlet 120 Kč.
Kolik Kč vyberou celkem? (všech 25 žáků × 120 Kč)

💡 25 × 120 = ?
3

Vybrali ? Kč. Utratí je v poměru autobus : vstupné : jídlo = 3 : 1 : 2.
Kolik Kč připadne na jídlo?

💡 1 díl = 3 000 ÷ 6 = 500 Kč. Jídlo = 2 × 500 = ?
4

Na jídlo mají ? Kč. Utratí je za limonády a svačiny v poměru 3 : 5.
Na limonády jde: 3/8 z celku. Každá limonáda stojí 25 Kč. Kolik limonád koupí?

💡 1 díl = 1 000 ÷ 8 = 125 Kč. Limonády = 3 × 125 = 375 Kč. 375 ÷ 25 = ?
5

Koupili ? limonád pro 25 žáků. Každý dostane jednu – zbyde 15 − 25 = ?
Jenže limonád je přesně 15 a žáků 25 → nestačí pro všechny. Zbyde 0.
Třída se rozhodne koupit ještě 10 limonád a rozdělit je v poměru chlapci : dívky = 2 : 3. Kolik limonád dostanou chlapci?

💡 10 limonád v poměru 2:3 → 1 díl = 10÷5 = 2. Chlapci = 2×2 = ?

Poměr – shrnutí

  • Poměr a : b zjednodušíme dělením největším společným dělitelem (GCD).
  • Dělení celku: 1 díl = celek ÷ (a + b). Části = a × díl a b × díl.
  • Součet v poměru: 1 díl = součet ÷ (a + b).
  • Rozdíl v poměru: 1 díl = rozdíl ÷ |a − b|.
  • Vždy ověř: součet výsledků musí dát zpátky celek. Poměr zjednodušen musí sedět.
  • Geometrie: u obdélníku pracuj s a + b = obvod ÷ 2, pak dělíš v poměru.