3D Tělesa

Válec · Trojboký hranol · Čtyřboký hranol · Interaktivní testy

Část 1

Základní pojmy

⬇️ Podstava \(S_p\)

Základní plocha tělesa, na které těleso „stojí".

Příklady

Válec → kruh
Trojboký hranol → trojúhelník
Čtyřboký hranol → obdélník / čtverec

🔲 Plášť \(S_{pl}\)

Boční plocha tělesa – „vše, co není podstava". Spojuje horní a dolní podstavu.

Povrch celkem
\[ S = 2S_p + S_{pl} \]

📦 Objem \(V\)

Velikost prostoru uvnitř tělesa – kolik vody by se vešlo dovnitř.

Zlaté pravidlo
\[ V = S_p \cdot v \]

Objem = obsah podstavy × výška

💡 Jednotky: Délky → cm, m  |  Plochy (obsah) → cm², m²  |  Objem → cm³, m³, litr (1 l = 1 dm³ = 1 000 cm³)
Část 2

Přehled vzorců

🔵 Válec

v r
Podstava\(S_p = \pi r^2\)
Plášť\(S_{pl} = 2\pi r v\)
Povrch\(S = 2\pi r(r+v)\)
Objem\(V = \pi r^2 v\)

\(\pi \approx 3{,}14\)

🔺 Trojboký hranol

v
Podstava\(S_p = \tfrac{a \cdot v_a}{2}\)
Plášť\(S_{pl} = o \cdot v\)
Povrch\(S = 2S_p + o \cdot v\)
Objem\(V = S_p \cdot v\)

\(o\) = obvod podstavy, \(v_a\) = výška trojúhelníku

🟦 Čtyřboký hranol

v a b
Podstava\(S_p = a \cdot b\)
Plášť\(S_{pl} = 2(a+b)\cdot v\)
Povrch\(S = 2(ab + av + bv)\)
Objem\(V = a \cdot b \cdot v\)

Pro čtverec: \(a = b\), tedy \(S_p = a^2\)

🧠 Mini test – Vzorce a pojmy

Skóre:0/0
Část 3

Kalkulátor těles

🧮 Vypočítej objem a povrch

Část 4

Přípravné příklady

🔵 Válec

  • Obsah podstav válce s poloměrem 5 cm. Sp
  • Obsah pláště válce: r = 0,1 m, v = 0,2 m. Spl
  • Povrch válce: r = 3 cm, v = 10 cm. S
  • Objem válce: r = 4 cm, v = 10 cm. V
  • Objem válce: r = 6 cm, v = 8 cm. V
  • Nádrž: V = 3 140 cm³, r = 10 cm. Urči výšku. v = ?
  • Nádoba: S = 439,6 cm², v = 7 cm. Urči poloměr. r = ?
1) \(2 \cdot \pi r^2 = 2\cdot3{,}14\cdot25 = 157\,\text{cm}^2\);
2) \(2\pi rv = 2\cdot3{,}14\cdot0{,}1\cdot0{,}2 \doteq 0{,}1256\,\text{m}^2\);
3) \(S = 2\pi r(r+v) = 2\cdot3{,}14\cdot3\cdot13 \doteq 244{,}92\,\text{cm}^2\);
4) \(V = \pi r^2 v = 3{,}14\cdot16\cdot10 = 502{,}4\,\text{cm}^3\);
5) \(V = 3{,}14\cdot36\cdot8 = 904{,}32\,\text{cm}^3\);
6) \(v = V/(\pi r^2) = 3140/(3{,}14\cdot100) = 10\,\text{cm}\);
7) \(r = 7\,\text{cm}\) (z rovnice \(2\pi r^2+2\pi rv=439{,}6\))

🔺 Trojboký hranol

  • Obsah podstavy: rovnostranný △, strana 6 cm. Sp
  • Povrch: rovnostranný △, a = 4 cm, v = 12 cm. S
  • Objem: rovnostranný △, a = 5 cm, v = 12 cm. V
  • Objem: pravoúhlý △, odvěsny 3 a 4 cm, v = 15 cm. V
  • V = 360 cm³, Sp = 60 cm². Urči výšku. v = ?
  • S = 314 cm², v = 7 cm, hrany 5, 6, 7 cm. Urči Sp. Sp = ?
1) \(S_p = \frac{6\cdot3\sqrt{3}}{2} \doteq \frac{6\cdot5{,}196}{2} \doteq 15{,}59\,\text{cm}^2\);
2) \(S = 2S_p + o\cdot v\); \(S_p \doteq 6{,}93\); \(o=12\); \(S \doteq 2\cdot6{,}93+12\cdot12 = 157{,}86\,\text{cm}^2\);
3) \(V = S_p\cdot v\); \(S_p \doteq 10{,}83\,\text{cm}^2\); \(V \doteq 129{,}9\,\text{cm}^3\);
4) \(S_p = \frac{3\cdot4}{2} = 6\,\text{cm}^2\); \(V = 6\cdot15 = 90\,\text{cm}^3\);
5) \(v = V/S_p = 360/60 = 6\,\text{cm}\);
6) \(S_{pl} = o\cdot v = 18\cdot7=126\,\text{cm}^2\); \(S_p = (314-126)/2 = 94\,\text{cm}^2\)

🟦 Čtyřboký hranol

  • Objem: obdélník 9 × 5 cm, v = 20 cm. V
  • Objem: čtverec a = 7 cm, v = 12 cm. V
  • Obsah podstavy: obdélník 7 × 5 cm. Sp
  • Povrch: obdélník 6 × 4 cm, v = 10 cm. S
  • V = 480 cm³, Sp = 80 cm². Urči výšku. v = ?
  • S = 214 cm², v = 6 cm, obvod p. = 24 cm. Urči Sp. Sp = ?
1) \(V = 9\cdot5\cdot20 = 900\,\text{cm}^3\);
2) \(V = 7^2\cdot12 = 588\,\text{cm}^3\);
3) \(S_p = 7\cdot5 = 35\,\text{cm}^2\);
4) \(S = 2(6\cdot4 + 6\cdot10 + 4\cdot10) = 2(24+60+40) = 248\,\text{cm}^2\);
5) \(v = 480/80 = 6\,\text{cm}\);
6) \(S_{pl} = 24\cdot6 = 144\,\text{cm}^2\); \(S_p = (214-144)/2 = 35\,\text{cm}^2\)

🧠 Mini test – Výpočty

Skóre:0/0
Část 5

Pokročilé příklady – objem a povrch

📝 Hledáme výšku nebo poloměr

  • Válec: V = 628 cm³, r = 5 cm. Vypočítej výšku. válec
  • Válec: V = 314 cm³, v = 10 cm. Vypočítej r. válec
  • Trojboký hranol: V = 240 cm³, rovnostranný △, a = 8 cm. Výška? trojboký
  • Trojboký hranol: V = 180 cm³, v = 15 cm, pravoúhlý △, a = 6 cm. Najdi b. trojboký
  • Čtyřboký hranol: V = 1 200 cm³, a = 10 cm, b = 6 cm. Výška? čtyřboký
  • Čtyřboký hranol: V = 980 cm³, v = 14 cm, podstava čtverec. Strana? čtyřboký
1) \(v = 628/(3{,}14\cdot25) = 8\,\text{cm}\);
2) \(r = \sqrt{314/(3{,}14\cdot10)} = \sqrt{10} \doteq 3{,}16\,\text{cm}\);
3) \(S_p\,\text{rovnostranného △} = \frac{8\cdot4\sqrt{3}}{2} \doteq 27{,}7\,\text{cm}^2\); \(v = 240/27{,}7 \doteq 8{,}7\,\text{cm}\);
4) \(S_p = V/v = 12\,\text{cm}^2\); \(b = 2S_p/a = 24/6 = 4\,\text{cm}\);
5) \(v = 1200/(10\cdot6) = 20\,\text{cm}\);
6) \(a^2 = 980/14 = 70\); \(a \doteq 8{,}4\,\text{cm}\)

📝 Hledáme z povrchu

  • Válec: S = 471 cm², r = 5 cm. Obsah pláště? válec
  • Válec: S = 628 cm², v = 10 cm. Obsah podstavy? válec
  • Trojboký hranol: S = 396 cm², Sp = 30 cm². Obsah pláště? trojboký
  • Trojboký hranol: S = 504 cm², v = 12 cm, Sp = 48 cm². Obvod podstavy? trojboký
  • Čtyřboký hranol: S = 700 cm², Sp = 50 cm². Obsah pláště? čtyřboký
  • Čtyřboký hranol: S = 800 cm², v = 15 cm, Sp = 60 cm². Obvod podstavy? čtyřboký
1) \(S_{pl} = S - 2S_p = 471 - 2\cdot78{,}5 = 314\,\text{cm}^2\);
2) \(S_p = (628 - 2\pi\cdot r\cdot10)/2\)… nebo: \(2S_p = S - S_{pl}\); \(S_p = 78{,}5\,\text{cm}^2\);
3) \(S_{pl} = S - 2S_p = 396 - 60 = 336\,\text{cm}^2\);
4) \(S_{pl} = S - 2S_p = 504-96 = 408\,\text{cm}^2\); \(o = S_{pl}/v = 408/12 = 34\,\text{cm}\);
5) \(S_{pl} = 700 - 2\cdot50 = 600\,\text{cm}^2\);
6) \(S_{pl} = 800-120 = 680\,\text{cm}^2\); \(o = 680/15 \doteq 45{,}3\,\text{cm}\)

🧠 Mini test – Povrch a objem

Skóre:0/0